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LEYES DE KIRCHOFF Y TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON

LEYES DE KIRCHOFF

Aunque el concepto de generador y fuerza electromotriz se verá en otro capítulo, adelantaremos que la fuerza electromotriz (f.e.m.) es la tensión que suministra un generador (pila o batería) cuando no se le conecta ninguna resistencia. 

Concepto de malla: Se llama malla en un circuito a cualquier camino cerrado. 

FIG. 1

En el ejemplo de la figura hay tres mallas: 

ABEF 
BCDE 
ABCDEF

El contorno de la malla está formado por ramas. Hay tres ramas: 

EFAB 
BE 
BCDE

Concepto de nudo: Se llama nudo en un circuito a cualquier punto en el que concurren más de dos ramas. En el ejemplo de la figura hay dos nudos: los puntos B y E. 

Convenios:  

Se fijan en cada malla un sentido de referencia arbitrario, que no tiene por qué ser el mismo en todas las mallas. En el ejemplo se ha escogido el sentido de las agujas del reloj para ambas. Basta con tomar las mallas que sean independientes. La ABCDEF no es independiente, porque está formada por las otras dos.  

Se conviene en asignarle a los generadores signo positivo cuando tienden a producir corriente en el mismo sentido que el de referencia, y negativo en caso contrario.

1ª Ley de Kirchoff o ley de mallas  

A lo largo de una malla, la suma de fuerzas electromotrices es igual a la suma de las diferencias de potencial producidas en las resistencias.  
Otra manera de expresar esto es: la suma algebraica de las tensiones a lo largo de una malla es cero. Obsérvese que esta ley no es sino la ley de Ohm generalizada.

2ª Ley de Kirchoff o ley de nudos 

En un nudo, la suma de las corrientes que entran es igual a las de que salen. 
O bien, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula. 

Esto es evidente, ya que los electrones no se pueden acumular en un nudo, ni tampoco pueden producirse allí.

Como aplicación, se resolverá el ejemplo propuesto: (ver Fig. 1) 

Aplicamos la 1ª ley de Kirchoff a la malla I : 

- 3 V + 5 V = I₁ x 1 + I₁ x 2 + I₁ x 5 - I₃ x 3

2 V = I₁ x 8 - I₃ x 3  ( I )

Aplicamos la 1ª ley de Kirchoff a la malla II : 

0 V = I₂ x 2 + I₂ x 4 + I₂ x 1 + I₃ x 3

0 V = I₂ x 7 + I₃ x 3  ( II )

Aplicamos la 2ª ley de Kirchoff al nudo B: 

I₁ + I₃ =  I₂  ( III )

Resolviendo el sistema de ecuaciones ( I ) ( II ) ( III ) 

I₁ = 20 / 101 = 0,198 A. 
I₂ = 6 / 101 = 0,0594 A. 
I₃ = -14 / 101 = - 0,138 A.

El signo negativo de I₃  quiere decir que, en realidad, dicha corriente tiene sentido contrario al que hemos supuesto y dibujado en nuestra figura 1. 

Recordemos la asociación de resistencias en serie y paralelo: 
A) Asociación en serie

E = V_I + V_II + V_III

La flecha que he puesto al lado de E significa que el generador nos eleva la tensión en el valor que tenga E. Las flechas puestas encima de las V_I ,V_II , V_III significan que la tensión disminuye en esos valores. La corriente I circula en el sentido del polo positivo de la batería (el superior en la figura) al negativo atravesando las resistencias. 

En este montaje tenemos UNA sola malla. No hay, por lo tanto, nudos. La corriente I que circula por la única malla es la MISMA para todas las resistencias. Lo que cambia es la tensión en cada una de ellas. La suma de todas las tensiones será igual a la f.e.m. E producida por el generador (1ª Ley de Kirchoff)

B) Asociación en paralelo

I= I₁ + I₂ + I₃

En este montaje hay varias mallas , apareciendo, por lo tanto, NUDOS. La tensión en extremos de todas las resistencias es la MISMA. Lo que cambia es la corriente a través de cada una de ellas. La suma de todas las corrientes será igual a la corriente total suministrada por el generador (2ª Ley de Kirchoff)  

 CAPITULO V.-CIRCUITOS EQUIVALENTES

5.1 DEFINICIÓN.

Ya se ha adelantado el concepto de circuito equivalente, al decir, por ejemplo, que un generador real es equivalente a uno ideal con su resistencia interna en serie.

·        La idea es más general: 
Circuito equivalente de uno dado es otro ficticio que, visto desde sus terminales, se COMPORTA igual que el dado.

Dicho de otra manera, es un artificio matemático por medio del cual se consigue estudiar el comportamiento de un circuito mediante otro más sencillo.

El circuito equivalente NO es igual que el original: tan sólo su comportamiento hacia el exterior es igual que el del original.

 REPASEMOS : Las Leyes de Ohm y Kirchoff

La Ley de Ohm establece la relación que existe entre la corriente en un circuito y la diferencia de potencial (voltaje) aplicado a dicho circuito.
Esta relación es una función de una constante a la que se le llamó resistencia.

FIGURA 1. LEY DE OHM

La 1ª Ley de Kirchoff establece que la suma algebraica de los voltajes alrededor cualquier bucle cerrado es igual a cero. 
La suma incluye fuentes independientes de tensión, fuentes dependientes de tensión y caídas de tensión a través de resistores. 

FIGURE 2. 1ª LEY DE KIRCHOFF

Sumatorio de Fuentes de Tensión = Sumatorio de caídas de tensión

La 2ª Ley de Kirchoff establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran en un nudo es igual a cero. 
Esta suma incluye las fuentes de corrientes independientes, las fuentes de corriente dependientes y las corrientes a través de los componentes. 

FIGURE 3. 2º LEY DE KIRCHOFF

La suma de corrientes que entran en un nudo es igual a cero 

Divisores de Tensión y Corriente

Los divisores de Tensión se usan frecuentemente en el diseño de circuitos porque son útiles para generar un voltaje de referencia, para la polarización de los circuitos activos, y actuando como elementos de realimentación.

Los divisores de corriente se ven con menos frecuencia, pero son lo suficientemente importantes como para que los estudiemos.

Las ecuaciones para el divisor de tensión, en donde suponemos que no hay ninguna carga conectada a nuestro circuito se ven en la Figura 4.

FIGURE 4. DIVISOR DE TENSION

Las ecuaciones del divisor de corriente, suponiendo que la carga es sólamente R₂, vienen dadas en la  Figura 5.

FIGURE 5. DIVISOR DE CORRIENTE

Teoremas de  Thévenin y Norton

Hay situaciones donde es más sencillo concentrar parte del circuito en un sólo componente antes que escribir las ecuaciones para el circuito completo.

Cuando la fuente de entrada es un generador de tensión, se utiliza el teorema de Thévenin para aislar los componentes de interés, pero si la entrada es un generadorde corriente se utiliza el teorema de Norton.  

     5.2 TEOREMA DE THEVENIN

Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de tensión en serie con una resistencia, tales que:

·        La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en circuito abierto en dichos terminales

·        La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestión, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente

Para aplicar el teorema de Thévenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 6, elegimos los puntos X e Y y, suponemos que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las resistencias R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito original)  y miramos atrás, hacia la izquierda. 

FIGURE 6. CIRCUITO ORIGINAL

En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos  la tensión equivalente Thévenin V_th que coincide con la tensión en bornas de la resistencia R2 y cuyo valor es :

El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda otra vez y calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensión son unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de nuestro circuito original, sólo hay un generador de tensión que, para el cálculo que debemos hacer lo supondremos en cortocircuito y ¿ que es lo que vemos ? 

Pues si miráis la figura 6, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en paralelo. 
Por lo que la resistencia equivalente Thévenin, también llamada impedancia equivalente, Z _th. vale:

El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el circuito equivalente que hemos calculado y nos queda el circuito de la figura 7, donde ahora es mucho más fácil realizar los cálculos para obtener el valor Vo

FIGURE 7. CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN

La otra forma de calcular Vo es, la de la teoría de mallas, que calculamos en la figura 8 y donde observamos que los resultados son los mismos. Pero las ecuaciones resultantes son bastante más laboriosas.

FIGURE 8. ANALISIS DEL MISMO CIRCUITO de
LA FIGURA 6 PERO APLICANDO LAS ECUACIONES POR MALLAS

Así pues, hemos observado que, aplicando el Teorema de Thévenin para el análisis de ciruitos, seremos capaces de simplificar nuestros cálculos, lo que nos será siempre muy útil, sobre todo, en otros circuitos más complejos.

Superposición

El principio de superposición establece que la ecuación para cada generador independiente puede calcularse separadamente, y entonces las ecuaciones (o los resultados) pueden acumularse para dar el resultado total. Cuando usemos dicho principio de superposición la ecuación para cada generador se calcula con los otros generadores (si son de tensión: se cortocircuitan; y si son de corriente se dejan en circuito abierto). Las ecuaciones para todos los generadores se acumulan  para obtener la respuesta final.

FIGURE 9. EJEMPLO DE SUPERPOSICIÓN

En primer lugar se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V₁, suponiendo que el generador V₂ es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V₀₁ (cuando V₂ = 0)

Seguidamente se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V₂, suponiendo que el generador V₁ es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V₀₂ (cuando V₁ = 0)

El valor de Vo será igual a la suma de los valores V₀₁ + V₀₂ obtenidos anteriormente. 

5.3 TEOREMA DE NORTON

Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, tales que:

·        La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestión.

·        La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia equivalente Thévenin)

FIGURA 10 CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON

Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 6, nos quedará el siguiente circuito:

Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 6. La corriente que circula por entre estos dos puntos la llamaremos I_th y lógicamente es igual a la tensión V del generador de tensión dividido por la resistencia R1 (Ley de OHM) I_th = V / R₁ la resistencia Thévenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el paralelo de R1 y R2
Z_th =R₁//R₂ = R₁ x R₂  / (R₁ + R₂)

5.4 EQUIVALENCIA ENTRE THEVENIN Y NORTON

Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin más que aplicar el teorema correspondiente, así por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thévenin de un circuito y hemos obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente :
Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos la corriente que pasa entre ellos que será la corriente : I_th = 10 / 20  = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W . por lo que nos quedará el circuito equivalente Norton de la derecha

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