Introducción
Además de los resistores, los capacitores y los inductores son otros dos elementos importantes que se encuentran en los circuitos eléctricos y electrónicos. Estos dispositivos, son conocidos como elementos pasivos. Solo son capaces de absorver energía eléctrica.
A diferencia de un resistor que dicipa energía, los capacitores y los inductores, la almacenan y la regresan al circuito al que están conectados.
Como
elementos activos en circuitos electrónicos tenemos a los dispositivos
semiconductores (diodos, transistores, circuitos integrados, microprocesadores,
memorias, etc).
Construcción
: Un capacitor se compone básicamente de 2 placas conductoras paralelas,
separadas por un aislante denominado dieléctrico.
Puede decirse que el incremento en potencial V es directamente proporcional a la carga Q colocada en el conductor. Por consiguiente, la razón de la cantidad de carga Q al potencial V producido, será una constante para un conductor dado, Esta razón refleja la capacidad del conductor para almacenar carga y se llama capacidad C.
C = Q
V
La unidad de capacitancia es el coulomb por volt o farad (F). Por tanto, si un conductor tiene una capacitancia de un farad, una transferencia de carga de un coulomb al conductor elevará su potencial en un volt.
Cualquier
conductor tiene una capacitancia C para almacenar carga. La cantidad de
carga que puede colocarse en un conductor está limitada por la rigidez dieléctrica
del medio circundante.
Es la intensidad del campo eléctrico para el cual el material deja de ser un aislador para convertirse en un material conductor.
Hay un limite para la intensidad del campo que puede exister en un conductor sin que se ionice el aire circundante. Cuando ello ocurre, el aire se convierte en un conductor.
El valor límite de la intensidad del campo eléctrico en el cual un material pierde su propiedad aisladora, se llama rigidez dieléctrica del material.
La energía de potencial del sistema es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas eléctricas al mover la carga +q desde el infinito a ese punto.
V = kQq’
r
El potencial V en un punto a una distancia r de una carga Q es igual al trabajo por unidad de carga realizado en contra de las fuerzas eléctricas al traer una carga +q desde el infinito a dicho punto.
En
otras palabras, el potencial en algún punto A, como se muestra a continuación,
es igual a la energía potencial por unidad de carga. Las unidades del
potencial se expresan en joules por coulomb, y se define como volt (V).
V = kQ
r
La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga
positiva realizado por fuerzas eléctricas para mover una pequeña carga de
prueba desde el punto de mayor potencial hasta el punto de menor potencial.
VAB = VA - VB
Como la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de
carga, las unidades del potencial en el SI son joules por coulomb, la cual se
define como una unidad llamada volt (V) :
1V = 1J
C
Es decir se debe realizar 1J de trabajo para llevar a carga de 1C a través de
una diferencia de potencial de 1 V.
Es
una unidad de energía equivalente a la energía adquirida por un electrón, que
se acelera a través de una diferencia de potencial de un volt.
Cálculo del potencial eléctrico en diferentes configuraciones
Ejemplo 1. Potencial debido a dos cargas puntuales.
Una carga puntual de 5µ C se coloca en el origen y una segunda carga puntual de -2µ C se localiza sobre el eje x en la posición (3,0)m, como en la figura 2.1. a) si se toma como potencial cero en el infinito, determine el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas coordenadas son (0,4)m.
Fig.
2.1. El potencial eléctrico en el punto P debido a las dos cargas puntuales q1
y q2 es la suma algebraica de los potenciales debidos a cada carga individual.
Ejemplo 2. Potencial debido a un anillo uniformemente cargado.
Encuentre el potencial eléctrico en un punto P localizado sobre el eje de un anillo uniformemente cargado de rado a y carta total Q. El plano del anillo se elije perpendicular al eje x. (Figura 2.2.)
Fig. 2.2. Un anillo uniformemente cargado de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x. Todos los segmentos del anillo están a la misma distancia del punto axial P.
Considere
que el punto P está a una distancia x del centro del anillo, como en la figura
2.2. El elemento de carga dq está a una distancia
del punto
P. Por lo tanto, se puede expresar V como
En
este caso, cada elemento dq está a la misma distancia del punto P. Por lo que
el término
puede
sacarse de la integral y V se reduce a
En esta expresión V sólo varía con x. Esto no es de extrañarse, ya que nuestro cálculo sólo es valido para puntos sobre el eje x, donde "y" y "z" son cero. De la simetría de la situación, se ve que a lo largo del eje x, E sólo puede tener componente en x. Por lo tanto, podemos utilizar la expresión Ex=-dV/dx.
Este resultado es igual al obtenido por integración directa. Note que Ex=0 (el centro del anillo).
Definición
Consideremos
dos conductores que tienen una diferencia de potencial V entre ellos, y
supongamos que los dos conductores tienen cargas iguales y de signo opuesto.
Esto se puede lograr conectando los dos conductores descargados a las terminales
de una batería. Una combinación de conductores así cargados es un
dispositivo conocido como condensador. Se encuentra que la diferencia de
potencial V es proporcional a la carga Q en el condensador.
La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas de igual magnitud y de signo contrario es la razón de la magnitud de la carga en uno u otro conductor con la diferencia de potencial resultante entre ambos conductores.
C = Q
V
Obsérvese que por definición la capacitancia es siempre una cantidad positiva. Además, como la diferencia de potencial aumenta al aumentar la carga almacenada en el condensador, la razón Q/V es una constante para un condensador dado. Por lo tanto, la capacitancia de un dispositivo es la medida de su capacidad de almacenar carga y energía potencial eléctrica.
Las unidades de la capacitancia en el SI son el Coulomb por Volt. La unidad en el SI para la capacitancia es el faradio (F), en honor a Michael Faraday.
1 farad (F) = 1 coulomb (C)
1 volt (V)
La rigidez dieléctrica es aquel valor de E para el cual un material dado deja de ser aislante para convertirse en conductor. Para el aire este valor es :
La
constante diélectrica K para un material particular se define como la razón de
la capacitancia C de un capacitor con el material entre sus placas a la
capacitancia C0 en el vacío.
K = C
C0
Calculo de la capacitancia en diferentes configuraciones
La
capacitancia de un par de conductores cargados con cargas opuestas puede ser
calculada de la siguiente manera. Se supone una carga de magnitud Q.
Así entonces simplemente se utiliza C=Q/V para evaluar la capacitancia.
Como podría esperarse, el cálculo de la capacitancia es relativamente fácil
si la geometría del condensador es simple.
Dos placas paralelas de igual área A están separadas una distancia d como en la figura 3.1. Una placa tiene carga +Q, y la otra, carga -Q.
Fig.
3.1. Un condensador de placas paralelas consta de dos placas paralelas
cada una de área A, separadas una distancia d. Las placas tienen cargas
iguales y opuestas.
La carga por unidad de área en cada placa es ô = Q/A. Si las placas están muy cercanas una de la otra, podemos despreciar los efectos de los extremos y suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otro lugar. El campo eléctrico entre las placas esta dado por :
La diferencia de potencial entre las placas es igual a Ed ; por lo tanto,
Sustituyendo este resultado , encontramos que la capacitancia esta dada por :
Esto
significa que la capacitancia de un condensador de placas paralelas es
proporcional al área de éstas e inversamente proporcional a la separación
entre ellas.
Ejemplo 3.1. Condensador de placas paralelas.
Un condensador de placas paralelas tiene un ára A=2cm²=2X10¯4m² y una separación entre las placas d=1mm = 10¯³m. Encuentre su capacitancia.
Solución:
Con frecuencia los circuitos eléctricos contienen dos o más capacitores agrupados entre sí. Al considerar el efecto de tal agrupamiento conviene recurrir al diagrama del circuito, en el cual los dispositivos eléctricos se representan por símbolos. En la figura 3.2. se definen los símbolos de cuatro capacitores de uso común. El lado de mayor potencial de una batería se denota por una línea más larga. El lado de mayor potencial de un capacitor puede representarse mediante una línea recta en tanto que la línea curva representará el lado de menor potencial. Una flecha indica un capacitor variable. Una tierra es una conexión eléctrica entre el alambrado de un aparato y su chasis metálico o cualquier otro reservorio grande de cargas positivas y negativas.
Fig.
3.2. Definición de los símbolos que se usan con frecuencia con
capacitores.
Considérese primero el efecto de un grupo de capacitores conectados a lo largo de una sola trayectoria, Una conexión de este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a la placa negativa de otro, se llama conexión en serie. La batería mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y la placa negativa C3, con una transferencia de electrones de una a otra. La carga no puede pasar entre las placas del capacitor ; en consecuencia, toda la carga contenida dentro del paralelogramo punteado, Fig. 3.3., es carga inducida. Por esta razón, la carga en cada capacitor es idéntica. Se escribe :
Q=Q1=Q2=Q3
donde Q es la carga eficaz transferida por la batería.
Fig. 3.3. Cálculo de la capacitancia equivalente de un grupo de capacitores conectados en serie.
Los tres capacitores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C, sin que varíe el efecto externo. A continuación se deduce una expresión que sirve para calcular la capacitancia equivalente para esta conexión en serie. Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada capacitor.
V=V1+V2+V3
Si
se recuerda que la capacitancia C se define por la razón Q/V, la ecuación se
convierte en
Para una conexión en serie, Q=Q1=Q2=Q3 así, que si se divide entre la carga, se obtiene :
1
= 1 + 1 + 1
Ce C1 C2 C3
La capacitancia eficaz total para dos capacitores en serie es :
Ce
= C1
C2
C1 + C2
Ahora bien, considérese un grupo de capacitores conectados de tal modo que la carga pueda distribuirse entre dos o más conductores. Cuando varios capacitores están conectados directamente a la misma fuente de potencial, como en la figura 3.4., se dice que ellos están conectados en paralelo.
Fig.
3.4. Capacitancia equivalente de un grupo de capacitores conectados en
paralelo
De
la definición de capacitancia,, la carga en un capacitor conectado en paralelo
es :
Q1=C1V1 Q2=C22V2 Q3=C3V3
La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales
Q=Q1 =Q2+Q3
La capacitancia equivalente a todo el circuito es Q=CV, así que la ecuación se transforma en
CV= C1V1 + C22V2 + C3V3
Para una conexión en paralelo,
V =V1=V2=V3
Ya
que todos los capacitores están conectados a la misma diferencia de potencial.
Por tanto, al dividir ambos miembros de la ecuación CV = C1V1 +C2V2 +C3V3
entre el voltaje se obtiene
C = C1 +C2 +C3 Conexión en paralelo
Ejemplo 3.2.
a).
Encuéntrese la capacitancia equivalente del circuito mostrado en la fig.
3.5.
b). Determínese la carga en cada capacitor.
c). Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor de
4µF.
Fig.
3.5. Ejemplificación de un problema al sustituir sus valores equivalentes
de la capacitancia.
Solucion a).
Los capacitores de 4 y 2 ?F están conectados en serie ; su capacitancia combinada se encuentra en la sig. ecuación.
Estos dos capacitores pueden reemplazarse por su equivalente, como se ve en la figura 3.5.b. Los dos capacitores restantes están conectados en paralelo. Por tanto la capacitancia equivalente es
Ce
= C3+C2,4 = 3µF + 1.33µF = 4.33µF
Solucion b).
La carga total en la red es
Q
= Ce V=(4.33µF)(120V) = 520µC
La carga Q3 en el capacitor de 3µF es Q3= C3V= (3µF)(120V) = 360µC
El resto de la carga, Q-Q3 = 520µC - 360µC = 160µC
debe
amacenarse en los capacitores en serie. Por lo tanto, Q2 = Q4 = 160µC
Solucion c).
La caida de voltaje a través del capacitor de 4µF es
Definiciónes
Figura 4.1. Cargas en movimiento a través de un área A. La dirección de la corriente es en la dirección en la cual fluirían las cargas positiva.
Siempre
que cargas eléctricas del mismo signo están en movimiento, se dice que existe
una corriente. Para definir la corriente con más precisión, supongamos
que las cargas se mueven perpendicularmente a un área superficial A como en la
figura 4.1. Por ejemplo, esta área podría ser la sección trasversal de
un alambre. La corriente es la rapidez con la cual fluye la carga a través de
esta superficie. Si
Q es la
cantidad de carga que pasa a través de esta área en un tiempo
t, la
corriente promedio, Ip, es igual a la razón de la carga en el intervalo de
tiempo :
Ip
=
Q
t
Si la rapidez con que fluye la carga varía con el tiempo, la corriente también varía en el tiempo y se define la corriente instantánea, I, en el límite diferencial de la expresión anterior :
I
= dQ
dt
La unidad de corriente en el SI es el ampere (A), donde : 1A = 1 C/s
Es decir, 1 A de corriente equivale a que 1 coulomb de carga que pase a través de la superficie en 1 s. En la práctica con frecuencia se utilizan unidades más pequeñas de corriente, tales como el miliampere (1mA=10¯³A) y el microampere (1µA=10¯6 A).
Cuando
las cargas fluyen a través de la superficie en la figura 4.1, pueden ser
positivas, negativas o ambas. Por convención se escoge la dirección de
la corriente como la dirección en la cual fluyen las cargas positivas. En
un conductor como el cobre, la corriente se debe al movimiento de los electrones
cargados negativamente. Por lo tanto, cuando hablamos de corriente en un
conductor ordinario, como el alambre de cobre, la dirección de la corriente será
opuesta a la dirección del flujo de electrones. Por otra lado, si uno
considera un haz de protones cargados positivamente en un acelerador, la
corriente está en la dirección del movimiento de los protones. En
algunos casos, la corriente es el resultado del flujo de ambas cargas positiva y
negativa. Esto ocurre, por ejemplo, en los semiconductores y electrólitos.
Es común referirse al movimiento de cargas (positivas o negativas) como el
movimiento de portadores de carga. Por ejemplo, los portadores de carga en
un metal son los electrones.
Es la oposición de un material al flujo de electrones. La resistencia R del conductor esta dada por :
R
= V
I
De
este resultado se ve que la resistencia tiene unidades en el SI de volts por
ampere. Un volt por un ampere se define como un ohm (
) :
1
= 1 V/A
Es
decir, si una diferencia de potencial de 1 volt a través de un conductor
produce una corriente de 1 A, la resistencia del conductor es 1
.
Por ejemplo, si un aparato eléctrico conectado a 120 V lleva corriente de 6 A,
su resistencia es de 20
.
Las
bandas de colores en un resistor representan un código que representa el valor
de la resistencia. Los primeros dos colores dan los dos primeros dígitos
del valor de la resistencia el tercer color es el exponente en potencias de diez
de multiplicar el valor de la resistencia. El último color es la
tolerancia del valor de la resistencia. Por ejemplo, si los colores son
naranja, azul, amarillo y oro, el valor de la resistencia es 36X104
o bien
360K
, con una
tolerancia de 18K
(5%).
Figura. 4.2.
4.2.
Las bandas de colores en un resistor representan un código que representa el
valor de la resistencia.
Código de colores para resistores.
El
inverso de la conductividad de un material se le llama resistividad p :
p
= 1
ô
Resistividades y coeficientes de temperatura para varios materiales.
Considérese un conductor con área de sección trasversal A que lleva una corriente I. La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de área. Como I = nqvdA, la densidad de corriente está dada por :
J
= I /A
donde J tiene unidades en el SI de A/m2. En general la densidad de corriente es una cantidad vectorial. Esto es,
J= nqvd
Con base en la definición, se ve también que la densidad de corriente está en la dirección del movimiento de las cargas para los portadores de cargas positivos y en dirección opuesta a la del movimiento de los portadores de carga negativos.
Una densidad de corriente J y un campo eléctrico E se establecen en un conductor cuando una diferencia de potencial se mantiene a través del conductor. Si la diferencia de potencial es constante, la corriente en el conductor será también constante.
Con mucha frecuencia, la densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo eléctrico en el conductor. Es decir,
J=ôE
Con mucha frecuencia, la densidad de corriente en un conductor es proporcional al campo eléctrico en el conductor. Es decir,
J=ôE
donde
la constante de proporcionalidad ô se llama la conductividad del conductor.
Los materiales cuyo comportamiento se ajustan a la ecuación anterior se dice
que siguen la ley de Ohm, su nombre se puso en honor a George Simon Ohm.
Ley de Ohm
La ley de Ohm afirma que para muchos materiales (incluyendo la mayor parte de los metales), la razón de la densidad de corriente al campo eléctrico es una constante, ô, la cuales independiente del campo eléctrico que produce la corriente.
Materiales que obedecen la ley de Ohm, y por tanto demuestran este comportamiento lineal entre E y J, se dice que son óhmicos. El comportamiento eléctrico de los muchos materiales es casi lineal con muy pequeños cambios en la corriente. Experimentalmente se encuentra que no todos los materiales tienen esta propiedad. Materiales que no obedecen la ley de Ohm se dicen ser no óhmicos. La ley de Ohm no es una ley fundamental de la naturaleza, sino una relación empírica válida sólo para ciertos materiales.
Una forma de la ley de Ohm que se utiliza de modo más directo en las aplicaciones prácticas puede ser obtenida al considerar un segmento de un alambre recto de área en la sección trasversal A y longitud l. Una diferencia de potencial Va - Vb mantenida a través del alambre, crea un campo eléctrico en el alambre y una corriente. Si se supone que el campo eléctrico en el alambre es uniforme, la diferencia de potencial V = Va - Vb se relaciona con el campo eléctrico a través de la relación :
V = E*l
El inverso de la conductividad de un material se le llama resistividad p.
p
= 1
ô
Fórmula
para la resistencia R de un conductor
Formula para la aplicación de la Ley de Ohm.
I
= V
R
Ejemplo 4.1. La resistencia de un conductor
Calcúlese
la resistencia de una pieza de aluminio de 10cm. de longitud que tiene un área
de sección trasversal de 10¯4 m². Repítase el cálculo para una pieza
de vidrio de resistencia 10¹º
. m.
Solución
Resistividad
del aluminio = 2.82X10¯8
Resistividad del vidrio = 10¹º - 10¯4
La resistencia de la barra de aluminio es :
Del mismo modo, para el vidrio se encuentra que :
Como era de esperarse, el aluminio tiene una resistencia mucho menor que el vidrio. Por esta razón el aluminio es buen conductor y el vidrio es muy mal conductor.
Ejemplo
4.2.
La diferencia de potencial entre las terminales de un calentador eléctrico es
de 80V. Cuando la corriente es de 6 Amperios. Cual será la corriente si
el voltaje se incrementa a 120V.
V1
=80V.
I1= 6A.
V2 =120V
I2 = ?
Solución
Potencia Eléctrica
Si
una batería se utiliza para establecer una corriente eléctrica en un
conductor, existe una transformación continua de energía química almacenada
en la batería a energía cinética de los portadores de carga. Esta energía
cinética se pierde rápido como resultado de las colisiones de los portadores
de carga con el arreglo de iones, ocasionando un aumento en la temperatura del
conductor. Por lo tanto, se ve que la energía química almacenada en la
batería es continuamente transformada en energía térmica.
Considérese
un circuito simple que consista de una batería cuyas terminales estén
conectadas a una resistencia R, como en la figura 4.3. La terminal positiva de
la batería está al mayor potencial. Ahora imagínese que se sigue una
cantidad de carga positiva
Q moviéndose
alrededor del circuito desde el punto a a través de la batería y de la
resistencia, y de regreso hasta el punto a.
El
punto a es el punto de referencia que está aterrizado y su potencial se ha
tomado a cero. Como la carga se mueve desde a hasta b a través de la
batería su energía potencial eléctrica aumenta en una cantidad V
Q (donde
V es el potencial en b) mientras que la energía potencial química en la batería
disminuye por la misma cantidad.
Sin embargo, como la carga se mueve desde c hasta d a través de la resistencia, pierde esta energía potencial eléctrica por las colisiones con los átomos en la resistencia, lo que produce energía térmica. Obsérvese que si se desprecia la resistencia de los alambres interconectores no existe pérdida en la energía en las trayectorias bc y da. Cuando la carga regresa al punto a, debe tener la misma energía potencial (cero) que tenía al empezar.
4.3.
Un circuito consta de una batería o f.e.m E y de una resistencia R. La
carga positiva fluye en la dirección de las manecillas del reloj, desde la
terminal negativa hasta la positiva de la batería. Los puntos a y d están
aterrizados.
Es cierto que la carga vuelve a ganar esta energía cuando pasa a través de la
batería. Como la rapidez con la cual la carga pierde la energía es igual
a la potencia perdida en la resistencia, tenemos :
P = IV
En
este caso, la potencia se suministra a la resistencia por la batería. Sin
embargo, la ecuación anterior puede ser utilizada para determinar la potencia
transferida a cualquier dispositivo que lleve una corriente I, y tenga una
diferencia de potencial V entre sus terminales. Utilizando la ecuación
anterior y el hecho de que V=IR para una resistencia, se puede expresar la
potencia disipada en las formas alternativas :
P=
I²R = V²
R
Cuando I está en amperes, V en volts, y R en ohms, la unidad de potencia en el
SI es el watt (W). La potencia perdida como calor en un conductor de
resistencia R se llama calor joule; sin embargo, es frecuentemente referido como
una perdida I²R.
Una batería o cualquier dispositivo que produzca energía eléctrica se llama
fuerza electromotriz, por lo general referida como fem.
Ejemplo 4.3. Potencia en un calentador eléctrico
Se construye un calentador eléctrico aplicando una diferencia de potencial de 110V a un alambre de nicromo cuya resistencia total es de 8?. Encuéntrese la corriente en el alambre y la potencia nominal del calentador.
Solución
Como V=IR, se tiene :
Se puede encontrar la potencia nominal utilizando P=I²R :
P
= I²R = (13.8 A)² (8
)
= 1.52 kW
Si se duplicaran el voltaje aplicado, la corriente se duplicaría pero la potencia se cuadruplicaría.
Ley de Joule
Podemos describir el movimiento de los electrones en un conductor como una serie de movimientos acelerados, cada uno de los cuales termina con un choque contra alguna de las partículas fijas del conductor.
Los electrones ganan energía cinética durante las trayectorias libres entre choques, y ceden a las partículas fijas, en cada choque, la misma cantidad de energía que habían ganado. La energía adquirida por las partículas fijas (que son fijas solo en el sentido de que su posición media no cambia) aumenta la amplitud de su vibración o sea, se convierte en calor.
Para deducir la cantidad de calor desarrollada en un conductor por unidad de tiempo, hallaremos primero la expresión general de la potencia suministrada a una parte cualquiera de un circuito eléctrico.
Cuando
una corriente eléctrica atraviesa un conductor, éste experimenta un aumento de
temperatura. Este efecto se denomina “efecto Joule”.
Es posible calcular la cantidad de calor que puede producir una corriente eléctrica
en cierto tiempo, por medio de la ley de Joule.
Supongamos, como en un calentador eléctrico, que todo el trabajo realizado por la energía eléctrica es transformado en calor. Si el calentador funciona con un voltaje V y un intensidad I durante un tiempo t, el trabajo realizado es :
W=VIt
y como cada J equivale a 0,24 cal, la cantidad de calor obtenido será :
Q=0.24 VIt
V debe medirse en volts, I en amperes y t en segundos, para que el resultado esté expresado en calorías.
La ley de Joule enuncia que :
" El calor que desarrolla una corriente eléctrica al pasar por un conductor es directamente proporcional a la resistencia, al cuadrado de la intensidad de la corriente y el tiempo que dura la corriente " .
Ejemplo 4.4.
Un fabricante de un calentador eléctrico portátil por inmersión, de 110V garantiza que si el calentador se sumerge en un recipiente lleno de agua ésta hervirá y en un minuto estará listo para hacer té. Calcule la potencia de salida del calentador. Que corriente fluirá por él?. Cual su resistencia ?
Suponga que el recipiente contiene 200 cm³ o sea 0.200kg de agua. Si la temperatura del agua disponible en el casa es de 10°C la diferencia de temperatura para que hierva será pT=90K. El suministro de energía calorífica que debe darse al agua está dado por :
donde c es la capacidad calorífica del agua expresada en joules y no kilocalorías. Como esta energía calorífica se transfiere al agua en un tiempo pt, la potencia de salida del calentador es :
Solución
El flujo de corriente por el calentador se puede determinar por la ecuación P=Vi. Así tenemos:
Mediante la ley de Ohm calculamos la resistencia , que es :
Fuerza magnética entre conductores
Como una corriente en un conductor crea su propio campo magnético, es fácil entender que dos conductores que lleven corriente ejercerán fuerzas magnéticas uno sobre el otro. Como se verá, dichas fuerzas pueden ser utilizadas como base para la definición del ampere y del coulomb. Considérese dos alambres largos, rectos y paralelos separados una distancia a y que llevan corriente I1 e I2 en la misma dirección, como se muestra en la figura 5.5. Se puede determinar fácilmente la fuerza sobre uno de los alambres debida al campo magnético producido por el otro alambre.
Fig. 5.5. Dos alambres paralelos que llevan cada uno una corriente estable ejercen una fuerza uno sobre el otro. El campo B2 en el alambre 1 debido al alambre 2 produce una fuerza sobre el alambre 1 dada por F1= I1l B2. La fuerza es atractiva si las corrientes son paralelas como se muestra y repulsiva si las corrientes son antiparalelas.
El alambre 2, el cual lleva una corriente I2, genera un campo magnético B, en la posición del alambre 1. La dirección de B2 es perpendicular al alambre, como se muestra en la figura. De acuerdo con la ecuación F = I l X B, la fuerza magnética sobre una longitud l del alambre 1 es F1 = I1 l XB2. Puesto que l es perpendicular a B2, la magnitud de F1 esta dada por F1 = I1 l XB2. Como el campo debido al alambre 2 está dado por la ecuación
Esto se puede reescribir en términos de la fuerza por unidad de longitud como
La dirección de F1 es hacia abajo, hacia el alambre 2, ya que l XB2 es hacia abajo. Si se considera el campo sobre el alambre 2 debido al alambre 1, la fuerza F2 sobre el alambre 2 se encuentra que es igual y opuesta a F1. Esto es lo que se esperaba ya que la tercera ley de Newton de la acción-reacción debe cumplirse. Cuando las corrientes están en direcciones opuestas, las fuerzas son inversas y los alambres se repelen uno al otro. Por ello, se determina que:
" Conductores paralelos que lleven corrientes en la misma dirección se atraen uno al otro, mientras que conductores paralelos que lleven corrientes en direcciones opuestas se repelen uno al otro ".
La fuerza entre dos alambres paralelos que lleven corriente se utilizan para definir el ampere como sigue:
" Si dos largos alambres paralelos separados una distancia de 1 m llevan la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud en cada alambre es de 2 X 10¯7 N/m, entonces la corriente que llevan se define como 1 A ".
El valor numérico de 2 X 10¯7 N/m se obtiene de la ecuación anterior, con I1=I2=1A y a=1m. Por lo tanto, se puede emplear una medición mecánica para normalizar el ampere.
Por ejemplo, en la National Burea of Standars (Oficina Nacional de Normas) se utiliza un instrumento llamado balanza de corriente para normalizar otros instrumentos más convencionales, como el amperímetro.
La unidad de carga en él SI, el coulomb, puede ahora ser definido en términos de ampere como sigue:
"
Si un conductor transporta una corriente estable de 1 A, entonces la cantidad de
carga que fluye a través de una sección trasversal del conductor en 1s es 1 C
".
Cuando una corriente eléctrica circula a través de un conductor que a su vez
se encuentra en un campo magnético, cada carga q que fluye por el conductor
experimenta una fuerza magnética. Estas fuerzas se transmiten al
conductor como un todo, y hacen que cada unidad de longitud del mismo
experimente una fuerza. Si una cantidad total de carga Q pasa por la
longitud l del alambre con una velocidad media promedio
,
perpendicular a un campo magnético B, la fuerza neta sobre dicho segmento de
alambre es
La velocidad media para cada carga que pasa por la longitud l en el tiempo t es l/t. Por ende, la fuerza neta sobre toda la longitud es
Si sé rearegla y simplifica, se obtiene
donde:
I representa la corriente en el alambre.
Del
mismo modo que la magnitud de la fuerza sobre una carga en movimiento varía con
la dirección de la velocidad, la fuerza sobre un conductor por el cual circula
una corriente depende del ángulo que la corriente hace con la densidad de
flujo. En general si el alambre de longitud l hace un ángulo
con el
campo B, el alambre experimentará una fuerza dada por
Ejemplo 5.3.
El alambre de la figura 5.6. forma un ángulo de 30° con respecto al campo B de 0.2. Si la longitud del alambre es 8 cm y la corriente que pasa por él es de 4A, determínese la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el alambre.
Fig. 5.6.
Solución
Al sustituir directamente en la ecuación se obtiene
La
dirección de la fuerza es hacia arriba como se indica en la figura 5.6.
Si se invirtiera el sentido de la corriente, la fuerza actuaría hacia abajo.
Leyes de circuitos magnéticos
Por lo común se cree que el magnetismo de la metería es el resultado del movimiento de los electrones en los átomos de las sustancias. Si esto es cierto, el magnetismo es una propiedad de la carga en movimiento y está estrechamente relacionado con fenómenos eléctricos. De acuerdo con la teoría clásica, los átomos individuales de una sustancia magnética son, de hecho, pequeños imanes con polos norte y sur. La polaridad magnética de los átomos se basa principalmente en el espín de los electrones y se debe sólo parcialmente a sus movimientos orbitales alrededor del núcleo.
Los átomos en un material magnético se agrupan en regiones magnéticas microscópicas llamadas dominios. Se considera que todos los átomos dentro de un dominio están magnéticamente polarizados a lo largo del eje cristalino.
El magnetismo inducido suele ser solo temporal, y cuando el campo se suprime, paulatinamente los dominios se vuelven a desorientar. Si los dominios permanecen alineados en cierto grado después de que el campo ha sido retirado, se dice que el material ha sido magnetizado permanentemente. Se llama retentividad a la capacidad para retener el magnetismo.
Otra propiedad de los materiales magnéticos que puede explicarse fácilmente mediante la teoría de los dominios es la saturación magnética. Parece que hay un límite para el grado de magnetización que un material puede experimentar. Una vez que se llega a este límite ningún campo externo de mayor intensidad puede incrementar la magnetización. Se considera que todos los dominios han sido alineados.
Cada línea de inducción es una curva cerrada. Aunque no hay nada que fluya a lo largo de estas líneas, es útil establecer una analogía entre las trayectorias cerradas de las líneas de flujo y un circuito cerrado conductor por el cual circula una corriente. La región ocupada por el flujo magnético se denomina circuito magnético, del cual el ejemplo más sencillo es el anillo de Rowland.
Fig. 5.7. Anillo de Rowland.
Se ha visto que las líneas de flujo magnético son más para un solenoide con núcleo de hierro que para un solenoide en aire. La densidad de flujo está relacionada con la permeabilidad µ del material que sirve como núcleo para el solenoide. La intensidad del campo H y la densidad e flujo B están relacionadas entre sí según la ecuación B = µH
Al hacer una comparación de esta relación se demuestra que para un solenoide
Nótese que la intensidad del campo magnético es independiente de la permeabilidad del núcleo; sólo es función del número de vueltas N, la corriente I y la longitud L del solenoide. La intensidad magnética se expresa en amperes por metro.
El campo magnético que se establece por una corriente en el devanado magnetizante se confina por completo al toroide. Este dispositivo es llamado frecuentemente anillo de Rowland debido a J.H.Rowland, quien lo utilizó para estudiar las propiedades de muchos materiales.
Supóngase
que se inicia el estudio de las propiedades magnéticas de un material con un
anillo de Rowland no magnetizado moldeado con la misma sustancia.
Inicialmente, B=0 y H=0. El interruptor se cierra y la corriente
magnetizante I se incrementa en forma gradual, de tal modo que se produce una
intensidad de campo magnética expresada por
donde:
L es la longitud de la circunferencia del anillo.
A medida que el material se somete a una intensidad de campo magnético H en aumente, la densidad de flujo B también crece hasta que el material se satura. Observe la curva AB de la figura 5.8. Ahora bien, si gradualmente la corriente se reduce a 0, la densidad de flujo B a lo largo del núcleo no regresa a 0 sino que retiene cierta intensidad magnética, como muestra la curva BC. La pérdida de la restitución magnética se conoce como histéresis.
Histérisis es el retraso de la magnetización con respecto a la intensidad del campo magnético.
La única forma de regresar a cero la densidad de flujo B en el anillo consiste en invertir el sentido de la corriente que fluye por el devanado. Este procedimiento origina la intensidad magnética H en sentido opuesto, como indica la curva CD. Si la magnetización continúa incrementándose en sentido negativo, el material finalmente se satura de nuevo con una polaridad invertida. Véase la curva DE. Si se reduce otra vez la corriente a cero y luego se aumenta en el sentido positivo, se obtendrá la curva EFB. La curva completa se llama ciclo de histéresis.
El área encerrada por el ciclo de histéresis es una indicación de la cantidad de energía que se pierde al someter un material dado a través de un ciclo completo de magnetización. El rendimiento de muchos dispositivos electromagnéticos depende de la selección de materiales magnéticos con baja histéresis. Por otro lado, los materiales que se requiere que permanezcan bien magnetizados deberán presentar una gran histéresis.
Fig. 5.8. Ciclo de histéresis.
Definición del campo magnético
El campo eléctrico E en un punto del espacio se ha definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga de prueba colocada en ese punto. Similarmente, el campo gravitacional g en un punto dado del espacio es la fuerza de gravedad por unidad de masa que actúa sobre una masa de prueba.
Ahora se definirá el vector de campo magnético B (algunas veces llamado inducción magnética o densidad de flujo magnético) en un punto dado del espacio en términos de la magnitud de la fuerza que sería ejercida sobre un objeto de velocidad v . Por el momento, supongamos que no están presentes el campo eléctrico ni el gravitacional en la región de la carga.
Los experimentos realizados sobre el movimiento de diversas partículas cargadas que se desplazan en un campo magnético han proporcionado los siguientes resultados:
1. La fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad v de la partícula.
2. La magnitud y la dirección de la fuerza magnética dependen de la velocidad de la partícula y de la magnitud y dirección del campo magnético.
3. Cuando una partícula se mueve en dirección paralela al vector campo magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero.
4.
Cuando la velocidad hace un ángulo
con el
campo magnético, la fuerza magnética actúa en una dirección perpendicular
tanto a v como a B; es decir, F es perpendicular al plano formado por v
y B. (Fig. 5.1a)
5. La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene sentido opuesto a la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueva en la misma dirección. (Fig. 5.1b)
6.
Si el vector velocidad hace un ángulo
con el
campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional al sen
.
Estas observaciones se pueden resumir escribiendo la fuerza magnética en la forma:
F
= qv X B
donde
la dirección de la fuerza magnética está en la dirección de v X B, la
cual por definición del producto vectorial, es perpendicular tanto a v
como a B.
Fig.
5.1. Dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada que
se mueve con velocidad v en presencia de un campo magnético. a). Cuando v
forma un ángulo
con B,
la fuerza magnética es perpendicular a ambos, v y B. b). En presencia de
un campo magnético, las partículas cargadas en movimiento se desvían como se
indica por medio de las líneas punteadas.
La fuerza magnética es siempre perpendicular al desplazamiento. Es decir,
F * ds = (F * v)dt = 0
Ya que la fuerza magnética es un vector perpendicular a v. De esta propiedad y del teorema de trabajo y energía, se concluye que la energía cinética de la partícula cargada no puede ser alterada sólo por el campo magnético. en otras palabras
"
Cuando una carga se mueve con una velocidad v, el campo magnético aplicado sólo
puede alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la
rapidez de la partícula ".
Ejemplo 5.1. Un protón que se mueve en un campo magnético.
Un
protón se mueve con una rapidez de 8X10 elevado a 6 m/s a lo largo del eje x.
Entra a una región donde existe un campo de 2.5 T de magnitud, dirigido de tal
forma que hace un ángulo de 60° con el eje de las x y está en el plano xy
(Fig. 5.2.). Calcúlese la fuerza magnética y la aceleración inicial del
protón
Solución.
De
la ecuación F = qvB sen
se
obtiene
F = (1.6X10¯19C) (8X10a la 6 m/s) (2.5T) (sen 60°)
F = 2.77X10¯¹²N
Como vXB está en la dirección z positiva y ya que la carga es positiva, la fuerza F está en la dirección z positiva. Dado que la masa del protón es 1.67X10¯²7kg, su aceleración inicial es
En la dirección z positiva.
Fig.
5.2. La fuerza magnética F sobre un protón está en la dirección
positiva del eje z cuando v y B se encuentra en el plano xy.
Propiedades de los materiales magnéticos
El
número de líneas
N
dibujadas a través de la unidad de área
A es
directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico E.
La
constante de proporcionalidad
, que
determina el número de líneas dibujadas, es la permisividad del medio por el
cual pasan las líneas.
Puede
presentarse una descripción semejante para un campo magnético si se considera
el flujo magnético
que pasa perpendicularmente a través de una unidad de área A. Esta razón
B se llama densidad de flujo magnético.
" La densidad de flujo magnético en una región de un campo magnético es el número de líneas de flujo que atraviesan perpendicularmente la unidad de área en dicha región ".
En él SI la unidad de flujo magnético es el weber (Wb). Por tanto, la unidad de densidad de flujo será webers por metro cuadrado, y se redefine como el tesla (T). Una unidad antigua que aún se usa es el gauss (G). En resumen,
Ejemplo 5.4. Cálculo del flujo magnético en una espira rectangular.
Una
espira rectangular de 19cm de ancho y 20cm de largo forma un ángulo de 30° con
respecto al flujo magnético. Si la densidad de flujo es 0.3 T, calcúlese
el flujo magnético que penetra en la espira.
Solución
El área
efectiva que el flujo penetra es aquella componente del área perpendicular al
flujo. Así pues, de la ecuación
se obtiene
La densidad de flujo en cualquier punto de un campo magnético se ve muy afectada por la naturaleza del medio o por la naturaleza de algún material que se coloque entre el polo y el objeto. Por esta razón conviene definir un nuevo vector de campo magnético, la intensidad del campo magnético H, que no depende de la naturaleza del medio. En cualquier caso, el número de líneas establecidas por unidad de área es directamente proporcional a la intensidad del campo magnético H. Puede escribirse
donde la constante de proporcionalidad µ es la permeabilidad del medio a través del cual pasan las líneas de flujo. La ecuación anterior es análoga a la ecuación para campos eléctricos.
Así pues, la permeabilidad de un medio puede definirse como la medida de la capacidad para establecer líneas de flujo magnético. Cuanto más grande sea la permeabilidad del medio, mayor será el número de líneas de flujo que pasarán por la unidad de área.
La
permeabilidad del espacio libre (el vacío) se denota mediante µ0.
Los materiales magnéticos se clasifican conforme a sus permeabilidades
comparadas con la del espacio vacío. La razón de la permeabilidad de un
material con la correspondiente para el vacío se llama permeabilidad relativa y
está expresada por
Materiales con una permeabilidad relativa ligeramente menor que la unidad tienen la propiedad de poder ser repelidos débilmente por un imán potente. Este tipo de materiales se denominan diamagnéticos y la propiedad correspondiente, diamagnetismo.
Por otro lado, a los materiales que presentan una permeabilidad ligeramente mayor que la del vacío se denominan paramagnéticos. Dichos materiales son atraídos débilmente por un imán poderoso.
Pocos materiales, como el hierro, cobalto, níquel, acero y aleaciones de estos elementos prestan permeabilidades extremadamente altas, comprendidas desde pocos cientos a miles de veces la del vacío. Estos materiales son atraídos fuertemente por un imán y se dice que son ferromagnéticos.
Ley de Faraday, Ley de Lenz, Ley de Ampere
Los experimentos llevados a cabo por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 e independientemente por Joseph Henry en los Estados Unidos en el mismo año, demostraron que una corriente eléctrica podría ser inducida en un circuito por un campo magnético variable. Los resultados de estos experimentos produjeron una muy básica e importante ley de electromagnetismo conocida como ley de inducción de Faraday. Esta ley dice que la magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio de flujo magnético a través del circuito.
Como se verá, la fem inducida puede producirse de varias formas. Por ejemplo, una fem inducida y una corriente inducida pueden producirse en una espira de alambre cerrada cuando el alambre se mueve dentro de un campo magnético. Se describirán tales experimentos junto con un importante número de aplicaciones que hacen uso del fenómeno de inducción electromagnética.
Con el estudio de la ley de Faraday, se completa la introducción a las leyes fundamentales del electromagnetismo. Estas leyes pueden resumirse en un conjunto de cuatro ecuaciones llamadas ecuaciones de Mexwell. Junto con la ley de la fuerza de Lorentz, representan una teoría completa para la descripción de las interacciones de objetos cargados. Las ecuaciones de Maxwell relacionan los campos eléctricos y magnéticos y sus fuentes fundamentales es decir, las cargas eléctricas.
LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY
Se principiará describiendo dos experimentos sencillos que demuestran que una corriente puede ser producida por un campo magnético cambiante. Primero, considérese una espira de alambre conectada a un galvanómetro. Si un imán se mueve hacia la espira, la aguja del galvanómetro se desviará en una dirección, si el imán se mueve alejándose de la espira, la aguja del galvanómetro se desviará en dirección opuesta.
Si el imán se mantiene estacionario en relación a la espira, no se observará desviación. Finalmente, si el imán permanece estacionario y la espira se mueve acercándola y alejándola del imán, la aguja del galvanómetro también sé deflectará. A partir de estas observaciones, se puede concluir que siempre que exista un movimiento relativo entre el imán y el circuito de la espira se generará una corriente en el circuito.
Estos resultados son muy importantes en vista del hecho de que se crea una corriente en el circuito ¡ aun cuando exista batería en el circuito !. Esta corriente se denominó corriente inducida, la cual se produce por una fem inducida.
Ahora se describirá un experimento, realizado por primera vez por Faraday, el cual se representa en la figura 5.9. Parte del aparato consta de una bobina conectada a una batería y a un interruptor.
Se hará referencia a esta bobina como la bobina primaria y a su correspondiente circuito como circuito primario. La bobina se devana alrededor de un anillo (núcleo) de hierro para intensificar el campo producido por la corriente a través de la bobina. Una segunda bobina a al derecha, también se devana alrededor del anillo de hierro y se conecta a un galvanómetro. Se hará referencia a está como bobina secundaria y a su correspondiente circuito como circuito secundario.
No existe batería en el circuito secundario y la bobina secundaria no está conectada con la bobina primaria. El único propósito de este circuito es detectar cualquier corriente que pueda ser producida por un cambio en el campo magnético.
Fig. 5.9. Experimento de Faraday. Cuando el interruptor en el circuito primario, a la izquierda, se cierra, el galvanómetro en el circuito secundario se desvía momentáneamente.
La primera impresión que se puede tener es que no debería de detectar ninguna corriente en el circuito secundario. Sin embargo, algo sucede cuando de repente se abre y se cierra el interruptor.
En el instante que se cierra el interruptor en el circuito primario, el galvanómetro en el circuito secundario se desvía en una dirección y luego regresa a cero. Cuando se abre el interruptor, el galvanómetro se desvía en la dirección opuesta y de nuevo regresa a cero. Finalmente, el galvanómetro da una lectura de cero cuando la corriente es estable en el circuito primario.
Como resultado de estas observaciones, Faraday concluyó que una corriente eléctrica puede ser producida por cambios en el campo magnético. Una corriente no puede ser producida por un campo magnético estable. La corriente que se produce en el circuito secundario ocurre sólo en el instante en que el campo magnético a través de la bobina secundaria está cambiando. En efecto, el circuito secundario se comporta como si existiera una fem conectada en un corto instante. Esto se puede enunciar diciendo que:
" Una fem inducida es producida en el circuito secundario por los cambios en el campo magnético ".
Estos dos experimentos tienen algo en común. En ambos casos, una fem es inducida en un circuito cuando el flujo magnético a través del circuito cambia con el tiempo. En efecto, un enunciado que puede resumir tales expresiones que implican corrientes y fem inducidas es el siguiente:
" La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del flujo magnético a través del circuito ".
Este enunciado, conocido como Ley de inducción de Faraday, puede escribirse como:
Donde
m es el
flujo magnético que abarca el circuito, el cual puede ser expresado como:
La integral dada por la ecuación anterior debe tomarse sobre el área limitada
por el circuito. Si el circuito consta de una bobina de N espiras, todas de la
misma área, y si el flujo pasa a través de todas las espiras, la fem inducida
está dada por:
Supóngase que el flujo magnético es uniforme en un circuito de área A que está
en un plano como el de la figura 5.10. En este caso, el flujo a través
del circuito es igual a BA cos
,
entonces la fem inducida puede expresarse como:
De esta expresión, se ve que la fem puede ser inducida en el circuito de varias formas:
1).
Variando la magnitud de B con respecto al tiempo, 2). Variando el área del
circuito con respecto al tiempo, 3). Cambiando el ángulo
entre B
y la normal al plano con respecto al tiempo y, 4). O bien cualquier combinación
de éstas.
Fig.
5.10. Espira conductora de área A en presencia de un campo magnético
uniforme B, el cual hace un ángulo
con la
normal a la espira.
Ejemplo 5.5. Aplicación de la ley de Faraday.
Una
bobina consta de 200 vueltas de alambre enrolladas sobre el perímetro de una
estructura cuadrada cuyo lado es de 18cm. Cada vuelta tiene la misma área,
igual a la de la estructura y la resistencia total de la bobina es de 2
.
Se aplica un campo magnético uniforme y perpendicular al plano de la bobina.
Si el campo cambia linealmente desde 0 hasta 0.5Wb/m² en un tiempo de 8s, encuéntrese
la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras el campo está cambiando.
Solución.
El área de la espira es (0.18m)² = 0.0324 m². El flujo magnético a través de la espira par t=0 es cero por lo que B=0. Para t=0.8s, el flujo magnético a través de la espira es
Por
lo tanto, la magnitud de la fem inducida es
Ejercicio 1. Cual es la magnitud de la corriente inducida en la bobina
mientras el campo está cambiando.
Respuesta
2.03A
La dirección de la fem inducida y la corriente inducida pueden ser determinadas de la ley de Lenz, la cual puede ser establecida como sigue:
" La polaridad de la fem inducida es tal que está tiende a producir una corriente que crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético a través del circuito ".
Es decir, la corriente inducida tiende a mantener el flujo original a través del circuito. La interpretación de este enunciado depende de las circunstancias.
Como se verá, esta ley es una consecuencia de la ley de conservación de la energía.
Para comprender mejor la ley de Lenz considérese el ejemplo de la barra que se mueve hacia la derecha sobre dos rieles paralelos en presencia de un campo magnético dirigido perpendicularmente hacia dentro del papel (Fig. 5.11.a).
Cuando la barra se mueve hacia la derecha, el flujo magnético a través del circuito aumenta con el tiempo ya que el área de la espira aumenta. La ley de Lenz dice que la corriente inducida debe ser en la dirección tal que el flujo que produzca se oponga al cambio en el flujo magnético externo.
Como el flujo debido al campo externo aumenta hacia dentro del papel, la corriente inducida, si ésta se debe oponer al cambio, debe producir un flujo hacia afuera del papel. Por lo tanto, la corriente inducida debe de circular en dirección contraria a las manecillas del reloj cuando la barra se mueva hacia la derecha para dar un flujo hacia afuera del papel en la región interna del circuito (Utilícese la regla de la mano derecha para verificar esta dirección). Por otro lado, si la barrera se mueve hacia la izquierda como en la figura 5.11b., el flujo magnético a través del circuito disminuye con el tiempo.
Como el flujo está hacia dentro del papel, la corriente inducida tiene que circular en dirección de las manecillas del reloj para producir un flujo hacia dentro del papel en el interior del circuito. En ambos caso, la corriente inducida tiende a mantener el flujo original a través del circuito.
Fig.
5.11. a). Cuando una barra conductora se desliza sobre dos rieles
conductores, el flujo a través de la espira aumenta con el tiempo. Por la
ley de Lenz, la corriente inducida debe estar en dirección contraria a la de
las manecillas del reloj, así que produce un flujo en dirección contraria
saliendo del papel. b). Cuando la barra se mueve hacia la izquierda,
la corriente inducida debe ser en la dirección de las manecillas del reloj.
Se
verá esta situación desde el punto de vista de consideraciones energéticas.
Supóngase que a la barra se le da un ligero empujón hacia la derecha. En
el análisis anterior se encontró que este movimiento genera en el circuito una
corriente que circula en dirección contraria a las manecillas del reloj.
Ahora véase qué sucede si se supone que la corriente circula en dirección de
las manecillas del reloj, Para una corriente I, que circula en la
dirección de las manecillas del reloj,
Ejemplo 5.6. Aplicación de la ley de Lenz.
Una bobina de alambre se coloca cerca de un electroimán como se muestra en la figura 5.12a. Encuéntrese la dirección de corriente inducida en la bobina: a) en el instante que el interruptor se cierra, b) varios segundos después de que el interruptor ha sido cerrado y c) cuando el interruptor se abre.
Fig. 5.12. Ejemplo 5.
Solución.
a). Cuando el interruptor se cierra, la situación cambia desde una condición en la cual no pasan líneas de flujo a través de la bobina, a una en la cual las líneas de flujo pasan a través de ella en la dirección que se ve en la figura 5.12b.
Para contrarrestar este cambio en el número de líneas, la bobina debe generar un campo de izquierda a derecha como en la figura. Esto requiere que la corriente esté dirigida como se muestran en la figura 5.12b.
b). Después de varios segundos de haber cerrado el interruptor, no existe cambio en el número de líneas a través de la espira; por lo tanto la corriente inducida es cero.
c).
Abrir el interruptor causa que el campo magnético cambie de una condición en
la cual las líneas de flujo mantenidas a través de la espira de derecha a
izquierda hasta una condición de cero flujo. La corriente inducida debe
entonces ser como se muestra en la figura 5.12c, para que genere un campo de
derecha a izquierda que mantenga el flujo.
Un experimento simple realizado por primera vez por Oerted en 1820 demostró claramente el hecho de que un conductor que lleva una corriente produce un campo magnético. En este experimento, varias brújulas se colocan en un plano horizontal cercanas a un alambre largo vertical.
Cuando no existe corriente en el alambre, todas las brújulas apuntan en la misma dirección (que el campo terrestre) como se esperaría. Sin embargo, cuando el alambre lleva una gran corriente estable, las brújulas necesariamente se desviarán en la dirección tangente a un círculo. Estas observaciones demuestran que la dirección B es congruente con la regla de la mano derecha.
" Si se toma el alambre con la mano derecha, de tal forma que el dedo pulgar apunte en la dirección de la corriente, los dedos curvados definirán la dirección de B ".
Cuando la corriente se invierte, necesariamente las brújulas se invertirán también.
Puesto que las brújulas apuntan en la dirección de B, se concluye que las líneas de B forman círculos alrededor del alambre. Por simetría, la magnitud de B es la misma en cualquier lugar sobre una trayectoria circular que esté centrada en le alambre y que se encuentre en un plano perpendicular al alambre. Si se varía la corriente y la distancia al alambre, se encuentra que B es proporcional a la corriente e inversamente proporcional a la distancia al alambre.
Ahora se evaluará el producto B * ds y se sumarán estos productos sobre una trayectoria circular centrada en el alambre. A lo largo de esta trayectoria, los vectores ds y B son paralelos en cada punto, así que B * ds =Bds. Además, B es constante en magnitud sobre este círculo. Por lo tanto la suma de los productos Bds sobre la trayectoria cerrada, la cual es equivalente a la integral de B * ds está dada por:
donde
es la
circunferencia del círculo.
Este resultado, conocido como ley de Ampere, fue encontrado para el caso especial de una trayectoria circular alrededor del alambre. Sin embargo, el resultado puede aplicarse en el caso general en el que una trayectoria cerrada sea atravesada por una corriente estable, es decir,
La ley de Ampere establece que la integral de línea de B * ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual µ0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria cerrada.
La ley de Ampere es válida sólo para corrientes estables. Además, la
ley de Ampere se utiliza sólo para el cálculo de campos magnéticos de
configuraciones de corriente con un alto grado de simetría.
Ejemplo 5.7. Campo magnético de una bobina toroidal.
Una bobina toroidal consta de N vueltas de alambre alrededor de una estructura en forma de aromo como en la figura 30.11. Suponiendo que las vueltas están estrechamente espaciadas, calcúlese el campo magnético en el interior de la bobina, a una distancia r de su centro.
Solución.
Para
calcular el campo magnético en el interior de la bobina, se evalúa la integral
de línea de B*ds sobre un círculo de radio r. Por simetría, se ve que
el campo magnético es constante en magnitud sobre esta trayectoria y tangente a
ésta, así que B*ds = Bds. Además, obsérvese que la trayectoria cerrada
encierra N espiras de alambre cada uno de los cuales lleva una corriente I.
Por lo tanto, aplicando la ley de Ampere a esta trayectoria se obtiene entonces:
Este resultado demuestra que B varía como 1/r y por lo tanto no es uniforme dentro de la bobina. Sin embargo, si r es grande comparado con a, donde a es el radio de la sección trasversal del toroide, entonces el campo será aproximadamente uniforme en el interior de la bobina. Además para una bobina toroidal ideal, donde las vueltas están estrechamente espaciadas, el campo externo es cero. Esto puede verse al observar que la corriente neta encerrada por cualquier trayectoria cerrada situada fuera de la bobina toroidal es cero (incluyendo la “cavidad en el aro”). Por tanto, de la ley de Ampere se encuentra que B=0, en las regiones exteriores a la bobina toroidal. En realidad, las espiras de una bobina toroidal forman hélices en lugar de espiras circulares (en el caso ideal). Como resultado, existe siempre un pequeño campo magnético externo a la bobina.
INDUCTANCIA
Definición de inductancia
Cuando la corriente cambia de intensidad se debe considerar un efecto denominado inducción.
Inducción. Es la propiedad de un circuito que hace que se oponga a cualquier cambio en la intensidad de la corriente
Al considerar primero el aumento de los valores de la intensidad que transcurre entre 0 y 90°, lógicamente también aumentará la fuerza del campo magnético. Al aumentar la intensidad, las líneas magnéticas alrededor del conductor A se expansionarán y al hacerlo cortarán al conductor B, que es adyacente al A. Siempre que hay un movimiento relativo entre un conductor y líneas magnéticas, se induce una Fem en el conductor ; por tanto, habrá una fem inducida en el conductor B.
El efecto de esta fuerza se puede simular cortando el conductor B y colocando en su lugar una fuente de voltaje. El efecto total será el de detener una bobina y dos fuentes de voltaje ; estas son la fem aplicada y la fem inducida. Según esto, la fem inducida será de dirección opuesta a la aplicada y se reducirá el efecto de la fem aplicada en su intento de empujar a la corriente a tráves de la bobina.
Cuanto más rápido sea el cambio en la intensidad, mayor será la fem inducida y por lo tanto mayor l oposición al cambio de intensidad.
Cálculo de la inductancia
Considere un circuito aislado formado por un interruptor, una resistencia y una fem como fuente. Cuando se cierra el interruptor la corriente no alcanza su valor máximo, E/R, instantáneamente.
La ley de la inducción electromagnética (ley de Faraday) impide que esto ocurra. Lo que sucede es lo siguiente : al incrementarse la corriente en el tiempo, se genera a través de la espira un flujo magnético que se incrementa en el tiempo.
Este aumento en el flujo induce al circuito una fem que se opone al cambio del flujo magnético a través de la espira. Por la ley de Lenz, el campo eléctrico inducido en el alambre tiene sentido opuesto al de la corriente que circula por el circuito, y esta contra fem produce un incremento gradual en la corriente.
Este efecto se llama autoinducción, ya que el flujo variable a través del circuito se produce por el mismo circuito. La fem producida se llama fem autoinducida.
Para dar una descripción cuantitativa de la autoinducción, partiremos de la ley de inducción de Faraday, la cual dice que la fem inducida es igual al negativo de la razón de cambio del flujo magnético en el tiempo.
Como el flujo magnético es proporcional al campo magnético, que a su vez es proporcional a la corriente en el circuito, la fem autoinducida siempre será proporcional a la razón de cambio de la corriente en el tiempo. Para una bobina de N espiras muy juntas y de geometría fija (una bobina toroidal o un selenoide ideal) se encuentra que
donde L es una constante de proporcionalidad, llamada inductancia del dispositivo, que depende de las características geométricas y físicas del circuito. De esta ecuación, se puede ver que la inductancia de una bobina de N espiras se puede calcular con la ecuación :
donde se supone que el flujo a través de cada espira es el mismo. Esta ecuación se utilizará para calcular la inductancia de algunas geometrías específicas.
También se puede escribir la inductancia como la relación.
Esta ecuación se toma como la definición de la inductancia de cualquier bobina independientemente de su forma, dimensiones o características del material. Así como la resistencia es una medida de la oposición a la corriente, la inductancia es una medida de oposición al cambio de la corriente.
La unidad SI de la inductancia es el henry (H), el cual, se puede ver que equivale a 1 volt-segundo por ampere :
Como se podrá ver, la inductancia de un dispositivo depende únicamente de su geometría. Sin embargo, el cálculo de la inductancia de cualquier dispositivo puede ser muy difícil para geometrías complejas.
Ejemplo 6.1. Inductancia de un selenoide.
Calcule la inductancia de un selenoide devanado uniformemente con N espiras y longitud l. Se supone que l es muy grande comparada con el radio y que el núcleo del selenoide es aire.
Solución.
En este caso, puede considerarse que el campo dentro del selenoide es uniforme y se puede calculara con la ecuación :
donde n es el número de vueltas por unidad de longitud, N/l. El flujo a traves de cada vuelta se obtiene de:
en
donde A es el área de la sección trasversal del selenoide. Utilizando
esta expresión y la ecuación
se encuentra :
Esto
demuestra que L depende de los factores geométricos y es proporcional al
cuadrado del número de vueltas.
Ejemplo 6.2. Cálculo de la inductancia y de la fem.
a). Calcule la inductancia de un selenoide que tiene 300 vueltas si la longitud del selenoide es de 25cm y el área de la sección trasversal es 4cm² = 4 X 10¯4m².
Solución.
Utilizando
la ecuación
se obtiene
b). Calcule la fem autoinducida en el selenoide descrito en a) si la corriente que circula por la inductancia decrece a razón de 50 A/s.
Solución.
Utilizando
la ecuación
y dado que dI/dt=50A/s, se obtiene:
6.3. Energía asociada al campo magnético
La fem inducida por un inductor impide a la batéria establecer instantáneamente una corriente. Por lo tanto, la batería tiene que realizar un trabajo contra el inductor para generar una corriente.
Parte de la energía suministrada por la bateíra se convierte en calor en la resistencia por el efecto Joule, mientras que la energía restante se almacena en le campo magnético del inductor.
Si
se multiplica cada término de la ecuación
por la corriente I y se ordenan los términos de la expresión, se tiene:
Esta ecuación dice que la razón con la cual la batería suministra energía, IE, es igual a la suma del calor perdido en la resistencia por efecto Joule, I2R, y la razón con la cual se almacena energía en el inductor, LI (dI/dt). Por lo tanto, la ecuación anterior es una expresión de la conservación de la energía. Si Um designa la energía almacenada en el inductor para cualquier tiempo, entonces la razón dUm/dt con la cual se almacena energía en el inductor se puede escribir en la forma
Para encontrar la energía almacenada en el inductor, se puede escribir esta ecuación como dUm=LI dI e integrar :
donde L es constante y se ha saco la integral.
La ecuación anterior representa la energía almacenada como energía magnética en el campo del inductor cuando la corriente es I. Nótese que la ecuación es similar en forma a la ecuación de la energía almacenada en el campo eléctrico de un capacitor, Q²/2C. En cualquier caso, se puede ver que se realiza un trabajo para establecer un campo. También se puede determinar la energía por unidad de volumen, o densidad de energía, almacenada en un campo magnético.
6.4. Densidad de energía magnética
Ya que Al es el volumen del selenoide, la energía almacenada por unidad de volumen en un campo magnético está dada por
Aunque
la ecuación anterior se dedujo para el caso específico de un soleniode, ésta
es valida pora cualquier región del espacio en donde exista un campo magnético.
Obsérvese que es similar en forma a la ecuación de la energía por unidad de
volumen almacenada por un campo eléctrico. En ambos casos la densidad de
energía es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo.
6.5. Inductancia Mutua
Con frecuencia el flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo como consecuencia de las corrientes variables que existen en circuitos cercanos. Esto da origen a una fem inducida mediante un proceso conocido como inducción mutua, llamada así porque depende de la interacción de dos circuitos.
Consideremos dos bobinas devanadas en forma muy estrecha, como se muestra en la vista de la sección trasversal de la figura 6.1. La corriente I1 en la bobina 1, que tiene N1 espiras, genera líneas de campo magnético, algunas de ellas atravesarán la bobina 2, que tiene N2 espiras.
Fig. 6.1. Una vista de sección trasversal de dos bobinas adyacentes. Una corriente en la bobina 1 genera un flujo, parte del cual atraviesa a la bobina 2.
El
flujo correspondiente a través de la bobina 2 producido por la bobina 1 se
representa por
21.
Se define la inductancia mutua M21 de la bobina 2 con respecto a la bobina
1 como la razón de N2
21
a la corriente I1
La inductancia mutua depende de la geometría de los dos circuitos y de sus orientaciones relativas entre sí. Es claro que al incrementarse la separación entre los circuitos, la inductancia mutua decrece ya que el flujo que une a los dos circuitos decrece.
Si la corriente I1, varía con el tiempo, se puede ver por la ley de Faraday y la ecuación anterior que la fem inducida en la bobina 2 por la bobina 1 está dada por
De igual forma , si la corriente I2 varía con el tiempo, la fem inducida en la bobina 1 por la bobina 2 está dada por
Estos
resultados son semejantes en su forma a la expresión de la fem autoinducida
.
La fem inducida por inducción mutua en una bobina siempre es proporcional a la
razón de cambio de la corriente en la otra bobina. Si las razones con las
cuales las corrientes cambian con el tiempo son iguales (esto es, si dI1/dt=dI2/dt),
entonces se encuentra que E1=E2. Aunque las constantes de proporcionalidad
M12 y M21 aparenten ser diferentes, se puede demostrar que son iguales.
Entonces haciendo M12 = M21 = M, las ecuaciones
y
se
convierten en :
y
La unidad de la inductancia mutua también es el henry.
Ejemplo 6.3. Inductancia mutua de dos solenoides.
Un solenoide de longitud l tiene N1 espiras, lleva una corriente I y tiene un área A en su sección trasversal. Una segunda bobina está devanada alrededor del centro de la primera bobina, como se muestra en la figura 6.2. Encuentre la inductancia mutua del sistema.
Fig.
6.2. Una pequeña bobina de N2 vueltas enrolladas alrededor del
centro de un solenoide largo de N1 vueltas.
Solución.
Si el solenoide lleva una corriente I1, el campo magnético en el centro está dado por
Como
el flujo
21
a través de la bobina 2 debido a la bobina 1 es BA, la inductancia mutua es :
Por
ejemplo, si N1=500 vueltas, A=3X10-3m2, l=0.5m y N2=8 vueltas, se obtiene :
